UNIDAD 2: CIRCUNFERENCIA

UNIDAD 2: CIRCUNFERENCIA



Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.


La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y recibe el nombre de ecuación en forma ordinaria.
Forma general de la ecuación de una circunferencia.
Dada la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k)2 = r2 desarrollamos los cuadrados y tenemos:
X2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2; agrupando términos:
X2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0; por último tenemos:
D E F
X2 + y2 + Dx +Ey + F = 0 que es la forma general que buscábamos. De aquí deducimos que cualquier ecuación en forma ordinaria puede transformarse mediante operaciones correctas a la forma general.
Tangente a una circunferencia.
Dada la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria o general, hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia que tiene dicha ecuación dados un punto de contacto, la pendiente de la de la recta buscada o un punto exterior por el cual pasa la recta tangente.
En geometría elemental se estudia únicamente la tangente a una curva: la circunferencia, el estudio hecho es insuficiente para las curvas planas en general, por ello, estudiaremos un método que se aplique a todas las curvas existentes en el siguiente apartado.
TANGENTE A UNA CURVA.
Dada la función f(x, y) <1> y la recta, que es tangente a esa curva, y = mx + b despejamos y en la ecuación de la recta y la sustituimos en f(x, y), después de esto nos debe quedar una ecuación de segundo grado, la cual hay que resolver con la siguiente condición: sabemos que la ecuación de segundo grado tiene un discriminante, en nuestro caso le llamaremos D y lo igualaremos a cero quedando de la forma D = 0 y le llamaremos "condición de tangencia".
En la expresión <1> hablamos de una función general en dos variables y nos referimos a funciones cuadráticas donde y = mx + b representa una familiade rectas y el sistema pretende determinar cuál de esas rectas es tangente.
Resolviendo nos queda una ecuación de segundo grado, como lo habíamos dicho con anterioridad, para la variable x y como estamos buscando una única solución se deduce que el discriminante tiene que ser igual a cero, es decir, estamos hablando de la condición de tangencia.
De manera práctica se encuentran tres casos de tangentes a cónicas.
  1. Se conoce el punto de contacto, aquí hay una sola tangente.
  2. Se conoce la pendiente, aquí hay dos tangentes.
  3. Se conoce un punto exterior por el cual pasa la tangente, aquí hay dos tangentes.
Para hallar las ecuaciones de las tangentes se sustituye el dato conocido en la ecuación de la recta y se resuelve la aplicando la condición de tangencia, determinando así la ecuación de las rectas.

HAZ CLICK AQUI PARA VER EL LINK DE ORIGEN


Para el tratamiento de radio para obtener la ecuación checa el siguiente video



4 comentarios:

  1. NO HABIA ENTENDIDO LO DEL CIRCULO PERO CON ESTA INFORMACION FUE MUCHO MAS FACIL

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  2. A qui esta mi integradora 2 relacionada con la circunferencia:

    “UNA DE LAS ACTIVIDADES PROFESIONALES A LAS QUE SE DEDICAN LOS ARQUITECTOS DEL PAISAJE Y DISEÑADORES, ES EL DISEÑO DE PAISAJES Y PARQUES RECREATIVOS”
    Para poder realizar esta actividad los arquitectos del paisaje y diseñadores, deben tener los conocimientos básicos sobre la circunferencia como se muestra en la siguiente figura. (Nota: el ancho de cada cuadricula es igual a 2m)

    Instrucciones: Resuelve de manera individual cada uno de los siguientes ejercicios que involucran”los principios básicos de la ecuación de la circunferencia”. Para las operaciones deberás utilizar hojas blancas y para las graficas papel cuadriculado o milimétrico, deberás ser muy limpio, ordenado, claro en tus procedimientos y razonamientos. Recuerda deberás ser puntual en la entrega de la actividad
    Un arquitecto del paisaje le pide a un constructor de jardines que empaste dos prados en forma circular, de radio igual a 4m., en un terreno rectangular cuyas medidas son de 26m. de largo y 24m. de ancho, el centro de uno de los prados se encuentra a 6m. del lado más largo y a 4m. del lado corto, y en el lado opuesto del terreno, el otro prado se localiza a 14m. del lado más largo y a 6m. del lado más corto.
    A) Determina las ecuaciones de las circunferencias en su forma ordinaria
    B) Determina las ecuaciones de las circunferencias en su forma general
    C) Cuantos m2 de pasto se necesitan para empastar los prados circulares.



    SOLUCION
    A)
    Con centro en 6m. del lado más largo y a 4m. del lado corto
    (x - h)2 + (y - k)2 = r2
    (x - 4)2 + (y - 6)2 = 42
    x2 - 8x + 16 + y2 - 12y + 36 = 16
    x2 + y2 – 12y – 8x + 36 + 16 = 16
    x2 + y2 – 12y – 8x + 52 = 16


    Con centro en el lado opuesto del terreno, a 14m. del lado más largo y a 6m. del lado más corto.
    (x - h)2 + (y - k)2 = r2
    (x - 20)2 + (y - 14)2 = 42
    x2 - 40x + 400 + y2 - 28y + 196 = 16
    x2 + y2 - 40x - 28y + 400 + 196 = 16
    x2 + y2 - 40x - 28y + 596 = 16



    B)
    (x - h)2 + (y - k)2 = r2
    (x - 4)2 + (y - 6)2 = 42
    x2 - 8x + 16 + y2 - 12y + 36 = 16
    x2 + y2 – 12y – 8x + 36 + 16 = 16
    x2 + y2 – 12y – 8x + 52 = 16
    x2 + y2 – 12y – 8x + 52 - 16 = 0
    x2 + y2 – 12y – 8x + 36 = 0


    (x - h)2 + (y - k)2 = r2
    (x - 20)2 + (y - 14)2 = 42
    x2 - 40x + 400 + y2 - 28y + 196 = 16
    x2 + y2 - 40x - 28y + 400 + 196 = 16
    x2 + y2 - 40x - 28y + 596 = 16
    x2 + y2 - 40x - 28y + 596 – 16 = 0
    x2 + y2 - 40x - 28y + 596 – 16 = 0
    x2 + y2 - 40x - 28y + 580 = 0
    C)
    A= π * r2
    A= 3.1416 * 42
    A= 3.1416 * 16
    A= 50.2656 m2.
    At= 2ª
    At= 2 * 50.2656
    At= 100.5312 m2

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  3. http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Elipse.html
    Encontre esta pagina, muy buena, de hecho vienen todas las figuras que hemos visto.
    Son un buen apoyo ¿no profe?
    Incluso por lo que le comente en la semana

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  4. Gracia a esta información me ayudo a reforzar mis conocimientos y de una forma en mi integradora de la institución.
    Muchas Gracias Profesor.

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